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一种冗余字典下的信号稀疏分解新方法

发布时间:2019-06-10 17:49 来源:未知 编辑:admin

  书 书 书收 稿 日 期 :20070517基 金 项 目 :国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 (60672125,60736043,60776795); 教 育 部 长 江 学 者 和 创 新 团 队 支 持 计 划 (IR T0645);国 家 部 委 预 研 基 金资 助作 者 简 介 :刘 丹 华 (1978),女 ,讲 师 ,西 安 电 子 科 技 大 学 博 士 研 究 生 ,Email:dh liu @ mail.xidian .edu . cn .一种冗余字典下的信号稀疏分解新方法刘 丹 华 , 石 光 明 , 周 佳 社(西 安 电 子 科 技 大 学电 子 工 程 学 院 ,陕 西西 安 710071)摘 要 : 针 对 目 前 冗 余 字 典 下 信 号 稀 疏 分 解 常 用 算 法 计 算 复 杂 度 高 的 问 题 ,提 出 一 种 分 组 匹 配 追 踪 算 法 .该 算 法 首 先 利 用 多 组 正 交 基 构 造 冗...

  书 书 书收 稿 日 期 :20070517基 金 项 目 :国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 (60672125,60736043,60776795); 教 育 部 长 江 学 者 和 创 新 团 队 支 持 计 划 (IR T0645);国 家 部 委 预 研 基 金资 助作 者 简 介 :刘 丹 华 (1978),女 ,讲 师 ,西 安 电 子 科 技 大 学 博 士 研 究 生 ,Email:dh liu @ mail.xidian .edu . cn .一种冗余字典下的信号稀疏分解新方法刘 丹 华 , 石 光 明 , 周 佳 社(西 安 电 子 科 技 大 学电 子 工 程 学 院 ,陕 西西 安 710071)摘 要 : 针 对 目 前 冗 余 字 典 下 信 号 稀 疏 分 解 常 用 算 法 计 算 复 杂 度 高 的 问 题 ,提 出 一 种 分 组 匹 配 追 踪 算 法 .该 算 法 首 先 利 用 多 组 正 交 基 构 造 冗 余 字 典 ,然 后 采 用 迭 代 式 分 组 匹 配 追 踪 ,每 次 迭 代 从 字 典 中 选 出 一 组和 原 始 信 号 或 残 余 最 匹 配 的 正 交 基 ,采 用 正 交 分 解 快 速 算 法 进 行 正 交 分 解 得 到 少 量 重 要 系 数 ,多 次 迭 代后 逐 渐 稀 疏 逼 近 原 始 信 号 .实 验 结 果 表 明 ,基 于 小 波 正 交 基 级 联 冗 余 字 典 进 行 信 号 稀 疏 分 解 时 ,在 同 等稀 疏 条 件 下 ,与 匹 配 追 踪 (M P)算 法 相 比 ,该 算 法 的 计 算 速 度 提 高 了 大 约 30 倍 ,而 且 可 避 免 过 匹 配 现 象 .关 键 词 : 稀 疏 分 解 ;冗 余 字 典 ;匹 配 追 踪 算 法 ;信 号 压 缩中 图 分 类 号 :T N911 . 72 文 献 标 识 码 :A 文 章 编 号 :10012400(2008)02022805犖犲狑 犿犲狋犺狅犱 犳狅狉 狊犻犵狀犪犾 狊狆犪狉狊犲 犱犲犮狅犿狆狅狊犻狋犻狅狀 狅狏犲狉 犪狉犲犱狌狀犱犪狀狋 犱犻犮狋犻狅狀犪狉狔犔犐犝 犇 犪狀犺狌犪 ,犛 犎 犐 犌狌犪狀犵犿犻狀犵,犣 犎 犗 犝 犑犻犪狊犺犲(School of Electronic Engineering,Xidian U niv .,Xian 710071,China)犃犫狊狋狉犪犮狋: For the extremely high complexity of usual algorith ms for sparse decomposition,a new groupmatching pursuit algorith m is presented based on a redundant dictionary with several orthonormal bases . Thealgorith m adopts the the idea of iterative group matching pursuit and selects the optimal basis from thedictionary by comparing the matching degree between the signal or the residua and every basis . Each operationof decomposing results in a few important coefficients by using the fast calculating algorith m of orthogonaldecomposition . After several such iterations,the original signal is approximated with a few coefficientseventually .Simulation results show that the calculating speed of the algorith m in this paper increases by aboutthirty times compared with M Ps . M oreover,this algorith m can avoid overmatching .犓犲狔 犠 狅狉犱狊: sparse deco m position;redundant dictionary;matching pursuit algorith m;signal co m pression在 信 号 与 信 息 处 理 中 ,如 何 用 空 间 变 换 有 效 地 表 达 信 号 ,是 一 个 很 重 要 的 问 题 .传 统 的 信 号 表 示 方 法 是 基于 “基 ”的 展 开 ,如 Fourier 变 换 和 小 波 变 换 等 .但 这 种 建 立 在 正 交 基 上 的 信 号 分 解 有 一 定 的 局 限 性 ,往 往 不 总 能够 达 到 好 的 稀 疏 表 示 效 果 ,尤 其 是 对 于 时 频 变 化 范 围 很 广 的 信 号 ,效 果 更 差 .一 种 更 好 的 信 号 分 解 方 式 应 该 是根 据 信 号 的 特 点 ,自 适 应 地 选 择 合 适 的 基 函 数 ,来 完 成 信 号 的 分 解 .因 此 近 年 来 非 正 交 分 解 引 起 人 们 极 大 的 研究 兴 趣 .M allat 和 Zhang于 1993 年 提 出 基 于 冗 余 字 典 (redundant dictionary)的 稀 疏 分 解 思 想2004 年 由 Candes,Ro m berg,Tao 和 Donoho一 步 将 稀 疏 分 解 思 想 提 升 到 了 一 个 新 的 高 度 .CS 理 论 的 基 础 就 是 要 求 信 号 在 某 个 空 间 具 有 稀 疏 性 ,因 此 稀[1].[2]建 立 起 来 的 压 缩 传 感 (Co m pressive sensing,CS)理 论 进疏 分 解 的 研 究 有 极 其 重 要 而 深 远 的 理 论 意 义 和 广 泛 的 应 用 价 值 .至 今 已 经 发 展 了 多 种 稀 疏 分 解 算 法 .常 用 的 有 匹 配 追 踪 (matching pursuit,M P)算 法pursuit,BP)算 法算 法[1]、基 追 踪 (basis[3]、框 架 方 法 (method of fra mes,M O F)算 法[4]、最 佳 正 交 基 (basis orthogonal best,B O B)[5]、正 交 匹 配 追 踪 (orthogonal matching pursuit,O M P)算 法[6].其 中 BP 算 法 、M P 算 法 是 目 前 最 常 用2008 年 4 月第 35 卷 第 2 期西安电子科技大学学报(自然科学版)犑 犗 犝 犚 犖 犃 犔 犗 犉 犡 犐 犇 犐犃 犖 犝 犖犐犞 犈 犚 犛犐犜 犢A pr .2008V ol.35 N o .2 的 两 种 算 法 .在 众 多 稀 疏 分 解 算 法 中 M P 算 法 的 速 度 是 最 快 的 ,但 其 计 算 量 仍 然 巨 大 .这 是 由 于 M P 每 一 步都 要 完 成 信 号 或 残 余 信 号 在 冗 余 字 典 中 的 每 一 个 原 子 上 的 投 影 计 算 .M P 算 法 还 有 另 两 个 缺 点 :(1)在 已 选原 子 组 成 的 子 空 间 上 ,信 号 的 展 开 可 能 不 是 最 好 的 ;(2)极 易 造 成 过 匹 配 现 象[3].Gabriel Peyr同 的 信 号 可 以 寻 找 最 适 合 信 号 特 性 的 一 个 基 ,然 后 对 信 号 进 行 变 换 以 得 到 较 低 计 算 复 杂 度 下 的 信 号 稀 疏 表 示 .[7]提 出 在 某 个 正 交 基 字 典 里 ,自 适 应 地 寻 找 可 以 逼 近 某 一 种 信 号 特 征 的 最 优 正 交 基 ,根 据 不但 一 组 固 定 的 正 交 基 仍 然 不 可 能 对 所 有 具 有 多 种 奇 异 特 性 的 信 号 都 能 够 达 到 稀 疏 分 解 .因 此 笔 者 从 降低 计 算 复 杂 度 的 角 度 出 发 ,提 出 基 于 多 组 正 交 基 级 联 字 典[8]的 分 组 匹 配 追 踪 算 法 .通 过 与 M P 算 法 的 仿 真 实验 比 较 ,结 果 表 明 该 算 法 是 快 速 而 有 效 的 .1 信号稀疏分解与匹配追踪(犕 犘)算法基 于 冗 余 字 典 的 信 号 稀 疏 分 解 的 数 学 描 述 : 设 集 合 犇={犵犻,犻 = 1,2, ,犕 }, 且Hilbert 空 间犚犖= span(犇 ),犕  犖 .由 于 犕  犖 ,称 犇 为 冗 余 字 典 ,其 元 素 因 为 不 再 满 足 正 交 性 称 为 原 子 ,并 且 原 子 都 作了 归 一 化 处 理 .对 于 信 号犳 犚(犓  犖 ) 个 原 子 对 信 号犳 作 犓犖,在 犇 中 选 取 犓项 逼 近 :犳 犓 =犻 犐犓, 犐犓 = inf= 犓< 犳,犵犻 > 犵犻,(1)其 中 犐 犓 是犵 犻的 下 标 集 合 .定 义 逼 近 误 差犳犓犳 - 犳 犓 .(2) 从 稀 疏 逼 近 的 角 度 出 发 ,希 望 在 满 足 条 件 (2)的 前 提 下 ,从 各 种 可 能 的 组 合 中 ,挑 选 出 分 解 系 数 最 为 稀 疏的 一 组 原 子 .要 找 到 最 稀 疏 的 信 号 表 示 ,等 同 于 解 决 0范 数 问 题[1]min 犮0 , s . t .犳 =犓犻 = 1犮犻犵 犻,(3)其 中犮0是 序 列 犮犻(犻 = 1,2, ,犓 ) 中 非 零 项 的 个 数 .对 于 冗 余 字 典 犇 来 说 ,这 是 一 个 N P 难 问 题人 们 转 而 采 用 能 够 求 解 局 部 最 优 的 M P 贪 婪 算 法 以 取 代 求算 法 在 每 一 次 迭 代 过 程 中 ,用 原 始 信 号 或 残 余 信 号 跟 冗 余 字 典 中 所 有 原 子 做 内 积 ,从 字 典 里 选 择 最 能 匹 配 信[9].犮0的 全 局 最 优 ,以 降 低 计 算 的 复 杂 度 .M P号 结 构 的 一 个 原 子 而 构 建 的 一 种 逼 近 过 程[1,10].但 是 ,由 于 每 次 迭 代 字 典 中 的 所 有 剩 余 原 子 都 需 与 信 号 作 内积 ,以 找 到 最 能 匹 配 信 号 结 构 的 一 个 原 子 ,所 以 M P 算 法 计 算 量 仍 十 分 巨 大 .笔 者 提 出 新 算 法 的 目 的 就 是 在完 成 信 号 稀 疏 分 解 的 同 时 ,降 低 计 算 复 杂 度 ,并 尽 可 能 克 服 过 匹 配 现 象 .2 基于多组正交基级联字典的分组匹配追踪算法2.1 文 中 算 法 描 述 基 于 多 组 正 交 基 级 联 字 典 的 分 组 匹 配 追 踪 算 法 的 基 本 思 想 是 :根 据 信 号 特 性 ,选 择 多 组 正 交 基 构 造 冗 余字 典 ,将 各 组 正 交 基 与 信 号 进 行 匹 配 程 度 比 较 ,选 择 在 与 信 号犳 最 匹 配 的 一 组 基 下 进 行 分 解 ,得 到 第 一 批 重要 系 数 ,然 后 从 字 典 中 将 最 匹 配 的 这 组 基 删 掉 .接 下 来 对 残 余 信 号 犚基 的 匹 配 程 度 进 行 比 较 ,在 最 匹 配 的 一 组 基 下 将 残 余 信 号 犚犻进 行 同 样 分 解 ,将 犚犻与 字 典 中 剩 余 正 交犻分 解 ,得 到 下 一 批 重 要 系 数 .依 次 类 推 ,直 到 完成 残 余 信 号 犚2.2 文 中 算 法 分 解 过 程犻的 精 度 要 求 (或 分 解 系 数 个 数 要 求 )为 止 .图1 是 文 中 算 法 的 分 解 过 程 示 意 图 .设 犖 为 信 号犳 的 长 度 ,犇 = {犅 1,犅 2, ,犅 犔},犅 犻 = {犵犻犼,犼 = 1,2, ,犖 },犻 = 1,2, ,犔 ,犅 犻为 第犻 个 标 准 正 交 基 组 ,则 犇 为 犔 组 正 交 基 级 联 而 成 的 字 典 .希 望 找 到 犓 (犓  犖 ) 个系 数 来 对犳 进 稀 疏 逼 近 ,犳 犓 =第 1 次 分 解 :首 先 ,分 别 利 用 标 准 正 交 基 犅 犻(犻 = 1,2, ,犔)对 信 号犳进 行 正 交 分 解 ,将 得 到 犖 个 系 数 ,选犓犼 = 1犮犼犵犼.出 犽犻个 大 系 数犮犻1,犮犻2, ,犮犻犽犻- 1,犮犻犽犻作 分 解 ,则 分 解 后 所 得 的 残 余犚1犻 = 犳 -犽犻犼 = 1犮犻犼犵犻犼,在 犔 组 这 样 的 大 系 数 中 选922第 2 期 刘 丹 华 等 :一 种 冗 余 字 典 下 的 信 号 稀 疏 分 解 新 方 法 图 1 基 于 多 组 正 交 基 级 联 字 典 的 分 组 匹 配 追 踪 算 法 的 分 解 及 重 构 过 程出 一 组 系 数 犮犻11,犮犻12, ,犮犻1犽犻1- 1,犮犻1犽犻1满 足犚1=min犻 = 1,2, ,犔{ 犚1犻} .(4)即 找 到 与 信 号犳匹 配 程 度 最 高 的 标 准 正 交 基 犅 犻1,并 得 到 第 一 组 系 数 犮犻11,犮犻12, ,犮犻1犽犻1- 1,犮犻1犽犻1,同 时 将 犅 犻1这 组 正交 基 从 字 典 中 删 去 .第 犾 次 分 解 :对 残 余 信 号 犚犾- 1作 上 述 同 样 的 分 解 过 程 ,可 得犚犾= 犚犾- 1-犽犻犾犼 = 1犮犻犾犼犵犻犾犼 ,(5)其 中 犚犾满 足 下 式 (同 样 删 去 相 应 的 一 组 正 交 基 )犚犾=min犻 = 1,2, ,犔犻 犻1, ,犻 犻犾- 1{ 犚犾犻} .(6) 依 次 类 推 ,直 到 找 到 第 犔 组 系 数 犮犻犔1,犮犻犔2, ,犮犻犔犻犻犔- 1,犮犻犔犻犻犔.至 此 ,共 得 到 犔 组 分 解 系 数 犮,将 它 们 合 并 起 来 记 作 犮1,犮2, ,犮犓.最 终 得 到 信 号犳的 稀 疏 分 解 ,即犻11,犮犻12, ,犮犻1犽犻1- 1,犮犻1犽犻1,犮犻21,犮犻22, ,犮犻2犽犻2- 1,犮犻2犽犻2, ,犮犻犔1,犮犻犔2, ,犮犻犔犽犻犔- 1,犮犻犔犽犻犔犳 犳 犓 =犽1犼 = 1犮1犼犵1犼 +犽2犼 = 1犮2犼犵2犼 + +犽犔犼 = 1犮犔犼 犵犔犼 =犓犼 = 1犮犼犵犼 .(7) 由 分 解 过 程 可 以 看 出 发 现 :文 中 算 法 和 M P 算 法 的 思 想 相 似 ,但 不 同 的 是 M P 算 法 每 次 迭 代 从 原 子 库 选择 一 个 最 佳 原 子 ,而 文 中 算 法 则 是 选 择 一 组 最 佳 正 交 基 进 行 分 解 .笔 者 提 出 的 算 法 的 改 进 之 处 在 于 :(1)在 一 定 条 件 下 可 以 保 证 其 收 敛 性 ,且 易 于 编 制 算 法 ;(2)它 每 一 次迭 代 过 程 都 是 在 正 交 基 下 进 行 分 解 (常 用 正 交 变 换 大 都 有 快 速 算 法 ),极 大 地 降 低 了 计 算 复 杂 度 .当 选 择 的 字典 是 犇 ={犅 1,犅 2, ,犅 犔} 时 ,如 果 犅 犻的 正 交 变 换 和 重 构 有 快 速 算 法 (如 小 波 基 ),此 时 该 算 法 的 计 算 复 杂 度为 犗 (犖 ), 而 M O F 算 法 、B O B 算 法 的 算 法 复 杂 度 均 为 犗 (犖 log 犖 ),BP 算 法 比慢 ,只 有 M P 算 法 是 准 线 性 的 ,然 而 其 速 度 却 极 大 地 依 赖 于 字 典 中 原 子 的 数 量 犕 (通 常 犕  犖 ).所 以 当 冗 余字 典 是 由 多 组 正 交 基 级 联 而 成 时 ,该 算 法 在 计 算 复 杂 度 方 面 优 于 M P 算 法 .另 外 ,当 原 始 信 号 恰 好 包 含 冗 余 字 典 中 两 个 原 子 的 线 性 组 合 时 ,采 用 M P 算 法 极 易 造 成 过 匹 配 现 象 .文中 算 法 则 克 服 了 过 匹 配 现 象 ,实 验 结 果 也 证 明 了 这 一 点 .M O F 算 法 、B O B 算 法 还 要032 西 安 电 子 科 技 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) 第 35 卷 3 实验结果分析3.1 小 波 基 下 正 交 分 解 的 逼 近 误 差 对 比 以 一 维 语 音 信 号 (图 2(a))为 例 ,取 犖 = 1 024,用 Daubechies 系 列 小 波 基 db1db10 构 造 正 交 级 联 字 典 .取 犓 = 128 (犓  犖 ),表 1 为 单 独 使 用 一 组 小 波 基 时 的 逼 近 误 差的 逼 近 效 果 最 好 .在 正 交 基 级 联 字 典 中 进 行 稀 疏 分 解 时 ,笔 者 所 提 算 法 逼 近 误 差2.894 1, 它 远 小 于 单 独 使 用 db7 正 交 分 解 的 逼 近 误 差 ,从 视 觉 效 果 看 (图 2(b)和 2(d)),文 中 算 法 重 构 出 的犳 - 犳 犓对 照 表 .从 表 1 中 可 以 看 出 ,db7犳 - 犳 犓= 1.498 7 信 号 也 远 好 于 正 交 基 分 解 重 构 信 号 .表 1 各 组 小 波 基 下 的 正 交 分 解 逼 近 误 差 对 照 表小 波 基db1db2db3db4db5db6db7db8db9db10犳 - 犳 犓3.048 52.987 43.094 83.001 73.000 63.064 22.894 13.018 03.054 92.907 4图 2 单 小 波 基 分 解 、M P 算 法 与 文 中 算 法 的 重 构 效 果 对 比3.2 文 中 算 法 与 M P 算 法 的 性 能 比 较(1) 逼 近 精 度 对 比表 2 给 出 了 几 种 分 解 方 法 的 给 定 稀 疏 系 数 数 量 犓 下 的 逼 近 误 差 .可 以 看 出 ,在 选 择较 少 系 数 时 (犓 32), 文 中 算 法 和 M P 算 法 的 逼 近 误 差 基 本 一 致 ;当 犓 增 加 时 ,而 且 文 中 算 法 的 逼 近 误 差 要略 小 于 M P 算 法 的 逼 近 误 差 ,此 时 ,压 缩 效 果 变 差 ,但 是 逼 近 误 差 变 小 .对 比 图 2(c)和 2(d)也 可 以 看 出 ,文 中算 法 的 重 构 效 果 略 优 于 M P 算 法 ,这 主 要 是 因 为 克 服 了 M P 的 过 匹 配 现 象 .就 误 差 收 敛 速 度 而 言 ,文 中 算 法与 M P 算 法 趋 于 一 致 .表 2 db7 小 波 分 解 、M P 算 法 和 文 中 算 法 的 逼 近 误 差 对 照犓小 波 分 解3.938 33.847 43.728 33.570 03.342 53.098 52.894 12.791 5M P 算 法3.925 23.811 73.603 33.263 42.826 42.209 61.525 90.861 9文 中 算 法3.925 23.811 73.603 33.263 42.826 42.202 41.498 70.857 4 (2) 计 算 复 杂 度 对 比 文 中 实 验 计 算 中 硬 件 条 件 是 P4 2.8 G (双 核 )、1 G 内 存 ,软 件 条 件 是X P,M atlab 7.1 版 本 .实 验 结 果 如 下 ,M P 算 法 所 用 计 算 时 间 为393.245 s,而 文 中 算 法 只 用 了12.687 s,其 计算 速 度 几 乎 是 M P 的 31 倍 ,可 见 ,文 中 算 法 在 计 算 复 杂 度 上 相 比 M P 算 法 有 显 著 降 低 ,这 是 由 于 该 算 法 分 解过 程 中 采 用 了 M allat 快 速 算 法 .需 要 注 意 的 是 , 信 号 稀 疏 分 解 的 计 算 速 度 除 了 依 赖 于 所 选 原 子 库 大 小 ,还 依赖 于 计 算 条 件 (硬 件 条 件 和 软 件 条 件 ),所 以 这 里 只 作 同 等 实 验 条 件 下 相 对 意 义 上 的 定 量 比 较 .此 外 ,不 同 信号 , 不 同 信 号 长 度 ,不 同 字 典 ,则 实 验 结 果 也 会 有 差 别 .但 通 过 多 次 反 复 实 验 发 现 ,文 中 算 法 在 同 等 条 件 下 与WindowsM P 算 法 相 比 计 算 速 度 均 能 提 高 几 十 倍 .4 结 束 语目 前 ,对 冗 余 字 典 下 的 信 号 稀 疏 分 解 的 研 究 主 要 集 中 在 两 个 方 面 :(1)如 何 降 低 算 法 的 复 杂 度 ;(2)如 何132第 2 期 刘 丹 华 等 :一 种 冗 余 字 典 下 的 信 号 稀 疏 分 解 新 方 法 构 造 合 适 的 冗 余 字 典 或 级 联 字 典 以 适 应 信 号 的 特 性 .笔 者 结 合 这 两 个 方 面 的 考 虑 用 正 交 小 波 基 构 造 正 交 级联 字 典 ,并 提 出 分 组 匹 配 追 踪 算 法 ,仿 真 实 验 结 果 表 明 ,同 等 条 件 下 ,文 中 算 法 提 高 了 计 算 效 率 ,克 服 了 M P算 法 的 过 匹 配 问 题 .参 考 文 献 :[1]M allat S,Zhang Z . M atching Pursuit with Timefrequency Dictionaries[J].IE E E Trans on Signal Processing,1993,41(12):3 3973 415 .[2]David L,Donoho D . Co m pressed Sensing[J].IE E E Trans on Information Theory,2006,52(4):1 2891 306 .[3]Chen S,Donoho D,Saunders M . Ato mic Deco m position by Basis Pursuit[J].SIA M J Sci Co m put,1999,20(1):3361 .[4]Daubechies I . Timefrequency Localization O perators:a Geo metric Phase Space A pproach [J]. IE E ETrans onInformation Theory,1998,34(4):605612 .[5]Coifman R R,Wicherhauser M V . Entropybased Algorith ms for Bestbasis Selection[J].IE E E Trans on InformationTheory,1992,38(2):713718 .[6]Pati Y C,Rezaiifar R,Krishnaprasad P S . Orthogonal M atching Pursuit:Recursive Function A pproximation withA pplications to W avelet Deco m position[C] //Proceedings of the 27th A nnual Asilo mar Conference in Signals,Systems,and Co m puters . Los Alamitos:IE E E,1993,1 (11):4044 .[7]Peyr G . Best Basis Co m pressed Sensing[C] //SS V M 2007,Lecture Notes in Co m puter Science . Berlin:SpringerVerlag,2007:8091 .[8]Donoho D,H uo X . U ncertainty Principles and Ideal Ato mic Deco m positions[J].IE E E Trans on Inform Theory,2001,47(7):2 8452 862 .[9]Davis G,M allat S,Avellaneda M . A daptive Greedy A pproximation[J]. Constr A pprox,1997,13(1):5798 .[10]Zhang Chun mei,Yin Zhongke,Chen Xiangdong .Signal overco m plete Representation and Sparse Deco m position Based onRedundant Dictionaries[J]. Chinese Science Bulletin,2005,50(23):2 6272 677 .(编 辑 : 齐 淑 娟 )櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀 櫀殩殩殩殩 简讯? 2007 年 11 月 4 日 ~ 5 日 ,美 国 Dalaware 大 学 电 子 与 计 算 机 工 程 学 院 教 授 夏 香根 博 士 来 校 学 术 交 流 .夏 香 根 教 授 的 主 要 研 究 方 向 包 括 空 时 编 码 、M I M O 和O F D M 系 统 、S A R 和 IS A R 成 像 等 .? 我 校 在 2007 年 全 国 大 学 生 数 学 建 模 竞 赛 中 再 创 佳 绩 ,22 个 参 赛 队 全 部 获 奖 ,其 中 ,获 全 国 一 等 奖 3 个 ,二 等 奖 2 个 ;陕 西 赛 区 一 等 奖 6 个 ,二 等 奖 5 个 ,三等 奖 6 个 .全 国 大 学 生 数 学 建 模 竞 赛 是 教 育 部 高 教 司 和 中 国 工 业 与 应 用 数 学学 会 联 合 举 办 的 规 模 最 大 的 大 学 生 科 技 竞 赛 活 动 .其 目 的 是 锻 炼 学 生 分 析 、解决 复 杂 实 际 问 题 的 能 力 ,培 养 学 生 的 实 践 能 力 、创 新 能 力 、合 作 精 神 、拼 搏 精神 、顽 强 意 志 和 综 合 素 质 .摘 自 《西 电 情 况 》2007 . 11 . 22232 西 安 电 子 科 技 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) 第 35 卷

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